Probatoire 2023 – Épreuve de Mathématiques séries F2, F3, F4, F5, AMEB, TGF, IB, MAGE (Cameroun)

Le sujet

Office du Baccalauréat du Cameroun – Probatoire, session 2023 – Mathématiques. Séries F2, F3, F4, F5, AMEB, TGF, IB et MAGE. Coefficient 3. Durée : 2 heures pour les séries F2, F3, F4 et F5 ; 3 heures pour les séries AMEB, TGF, IB et MAGE.

Exercice 1 (4,75 points)

1. Quatre nombres $x$, $y$, $z$ et $t$ sont, dans cet ordre, en progression géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de somme égale à 30.

a) Montrer que $x = 16$. (1,5 pt)

b) Déterminer $y$, $z$ et $t$. (0,75 pt)

1. Une caisse contient 30 vis de diamètres en millimètres variant de 25 à 80 et réparties de la manière suivante :

Diamètre (mm) [25 ; 50[ [50 ; 65[ [65 ; 70[ [70 ; 80[
| Nombre de vis  | 16  | 8  | 4  | 2

a) Calculer le diamètre moyen d'une vis de cette caisse. (1 pt)

b) Construire l'histogramme représentant cette série. (1,5 pt)

Exercice 2 (4,25 points)

$f$ est la fonction numérique dont la représentation graphique $(C_f)$ sur $\mathbb{R}$ est donnée ci-dessous.

1. Déterminer, sous forme de réunion de deux intervalles, l'ensemble de définition de $f$. (0,5 pt)
2. Dresser le tableau des variations de $f$ sur son ensemble de définition. (0,75 pt)
3. Reproduire cette figure puis construire, sur le même graphique, la courbe de la fonction $x \mapsto f(|x|)$. (1,5 pt)
4. À partir des informations tirées du graphique, déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$. (1,5 pt)

Problème (11 points)

A/

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2 + x - 1 = 0$. (0,5 pt)
2. a) Montrer que pour tout réel $t$, $\cos(2t) = 1 - 2\sin^2 t$. (0,5 pt)

b) Résoudre dans $]-\pi ; \pi[$ l'équation $\sin t - \cos(2t) = 0$. (2,5 pts)

B/

$A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan complexe ayant pour affixes respectives $\sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$ et $-2i$.

1. Déterminer le module et un argument de $z_A = \sqrt{3} + i$, $z_B = -\sqrt{3} + i$ et $z_C = -2i$. (2,25 pts)
2. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral. (1,5 pt)
3. Soit $D$ le point du plan tel que $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CD} = \vec{0}$, et $I$ le milieu de $[AB]$.

a) Montrer que $I$ est le milieu de $[CD]$. (1 pt)

b) En déduire que $ADBC$ est un losange. (1 pt)

c) Soit $\alpha$ un réel et $\Gamma_\alpha$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 = \alpha$.

(i) Déterminer la valeur de $\alpha$ sachant que $C$ appartient à $\Gamma_\alpha$. (0,25 pt)

(ii) Montrer que $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 6$. (0,5 pt)

En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $\Gamma_{24}$. (1 pt)

Nos conseils

• Lisez tout le sujet avant de commencer : le problème vaut 11 points sur 20, gardez-lui au moins la moitié de votre temps.
• Exercice 2 : tout se lit sur le graphique. Repérez d'abord les deux asymptotes et les points remarquables, ils donnent l'ensemble de définition et les réels $a$, $b$ et $c$.
• Pour la courbe de $x \mapsto f(|x|)$, rappelez-vous qu'elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Problème : la partie A/2 réutilise la question A/1. Pensez à poser $X = \sin t$.
• Refaites le sujet en conditions réelles, puis comparez avec la correction de votre enseignant.